Proposições e Conectivos na Lógica

 

 

O Que São Proposições?

Na área da lógica, as proposições representam um elemento fundamental que expressa um pensamento claro e definido dentro de um certo contexto. Cada proposição pode ser classificada como verdadeira ou falsa. Exemplos incluem afirmações como ‘o IF é uma escola de ensino médio’ ou ‘o IF tem apenas o nível técnico’. Essas afirmações são diferentes de interjeições ou perguntas, que não possuem valor lógico definido.

Estrutura de um Argumento

Um argumento é criado através de uma sequência lógica de proposições, onde as premissas levam a uma conclusão. Por exemplo, se estabelecermos que ‘todo aluno é do IF’ e que ‘todos os alunos são estudiosos’, poderá ser inferido que a conclusão definitiva é que ‘todo aluno estudioso pertence ao IF’. Esta estrutura é essencial para a validação lógica.

Princípios de Lógica nas Proposições

Existem princípios norteadores que ajudam a entender melhor as proposições. O princípio da identidade afirma que uma proposição verdadeira é verdadeira, enquanto uma proposição falsa é falsa. O princípio da não-contradição sugere que uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa. Por fim, o princípio do terceiro excluído estabelece que cada proposição deve ser verdadeira ou falsa, sem meio-termo.

Os
principais conectivos lógicos são: negação, conjunção (E), disjunção
(OU), condicional (SE… ENTÃO) e bicondicional (SE E SOMENTE SE).

Suponha
as proposições:

• P: “O céu está
  azul.”
• Q: “Está quente.”

Vamos
analisar a tabela verdade de cada conectivo.

1. Negações (¬P, ¬Q)

A negação
de uma proposição inverte o valor lógico da proposição. Se PPP é verdadeira,
então ¬P\neg P¬P é falsa, e vice-versa.

P	¬P
O céu está azul	O céu não está azul
V	F
F	V

2. Conjunção (P ∧ Q)

A
conjunção é verdadeira apenas quando ambas as proposições são
verdadeiras.

P	Q	P ∧ Q
O céu está azul	Está quente	Ambos: O céu está azul e está quente
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

3. Disjunção (P ∨ Q)

A
disjunção é verdadeira quando pelo menos uma das proposições é
verdadeira.

P	Q	P ∨ Q
O céu está azul	Está quente	Um ou ambos: O céu está azul ou está quente
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

 

4. Condicional (P → Q)

O
condicional é falso apenas se PPP for verdadeiro e QQQ for falso. Interpreta-se
como: “Se PPP, então QQQ”.

P	Q	P → Q
O céu está azul	Está quente	Se o céu está azul, então está quente
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

5. Bicondicional (P ↔ Q)

O
bicondicional é verdadeiro quando PPP e QQQ têm o mesmo valor lógico
(ambos verdadeiros ou ambos falsos).

P	Q	P ↔ Q
O céu está azul	Está quente	O céu está azul se, e somente se, está quente
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

 

Representação dos Conjuntos

Agora,
podemos representar as proposições PPP e QQQ como conjuntos. Em um diagrama de
Venn:

1. O conjunto PPP
   representa todos os momentos em que “O céu está azul”.
2. O conjunto QQQ
   representa todos os momentos em que “Está quente”.

Diagramas de Conjuntos

• Conjunção (P ∧ Q): A interseção dos conjuntos
  PPP e QQQ.
• Disjunção (P ∨ Q): A união dos conjuntos PPP
  e QQQ.
• Condicional (P → Q): Representado pelo fato de
  que sempre que ocorre PPP, ocorre QQQ; fora desse caso, a região é
  verdadeira.
• Bicondicional (P ↔ Q): Os valores são os mesmos,
  indicando a interseção e a exclusão dos dois conjuntos simultaneamente.

Esses
diagramas ajudam a visualizar a relação entre proposições, onde a área
compartilhada representa os casos verdadeiros em cada operador.